EDP - Equations aux dérivées partielles

Ref: 1SL1500

Description

Les équations aux dérivées partielles (ou EDP en abrégé) sont des équations dont les solutions sont des fonctions. Elles apparaissent naturellement dans la modélisation en physique, mécanique, biologie, économie, finance et plus généralement tous les domaines de l’ingénieur.

Dans ce cours, vous apprendrez les bases des EDP. Nous commencerons par un rappel sur les equations différentielles ordinaires (EDO) sur lesquelles nous examinerons le caractère bien-posé des questions. Nous aborderons ensuite les différentes classes d'EDP, notamment elliptiques, paraboliques et hyperboliques. Vous verrez comment on peut prouver l'existence et l'unicité des solutions de certaines équations elliptiques.

Vous verrez comment approcher numériquement les solutions des équations aux dérivées partielles elliptiques et paraboliques à l'aide de deux techniques standard : La méthode des éléments finis et la méthode des différences finies. Ces deux techniques aboutissent à un système linéaire de très grande taille ; nous verrons donc les bases de l'algèbre linéaire numérique qui permettent de résoudre ce problème. Vous serez également initié à un logiciel de résolution numérique.

Dans ce cours, vous verrez également la théorie des distributions qui généralise le concept de fonctions. Vous apprendrez comment utiliser et les appliquer cette théorie. Vous découvrirez également les espaces de Sobolev qui sont utiles dans le contexte des EDP.

Période(s) du cours

ST2 et SG3

Prérequis

Convergence, Intégration et Probabilités
Modélisation (co-requis)
Système d'information et programmation

Syllabus

Chapitre I - Equations différentielles ordinaires

Chapitre II - Classification des EDP et modélisation

Chapitre III - Distributions

Chapitre IV - La formulation variationnelle

Chapitre V - La méthode des éléments finis

Chapitre VI - La méthode des différences finies

Chapitre VII - Analyse numérique matricielle

Chapitre VIII - EDP paraboliques

Les chapitres I et V se font sur deux séances chacun.

Le chapitre II se fera via un travail personnel des élèves.

Composition du cours

Le cours est disponible en :

Français
présentiel (groupes 3 à 6) ou blended learning (groupe 1)
Anglais
blended learning (groupe 2)

La modalité "blended learning" signifie que les cours ont lieu sous forme de capsules vidéos et le TD en présentiel.

Les élèves auquel il apparait opportun d’apporter une aide complémentaire sont inscrits en MR (renforcement). Ils bénéficient de séances supplémentaires animées par les élèves inscrits dans l’électif de 2e année “Teaching Assistant” sous la responsabilité de l’équipe enseignante. Les renforcements sont compatibles avec le français présentiel et l’anglais "blended learning".

Une modalité dite "maths libres" est pourrait être ouverte pour quelques élèves d’un niveau mathématique exceptionnel et souhaitant approfondir les équations aux dérivées partielles. L’admission est soumise à candidature.

La modalité choisie en CIP et le groupe de cours/TD sont reconduits en EDP sauf motif impérieux. Cette reconduction ne concerne pas la modalité "maths libres".

Ressources

Cet enseignement est composé de neuf cours et de neuf TD.

Les cours sont donnés dans l'un des groupes de cours ainsi qu'une modalité spéciale appelée "maths libres" dont l'ouverture éventuelle fera l'objet d'une communication spécifique. Chaque groupe de cours est subdivisé en groupes de TD. Une modalité de renforcement est attribuée à certains élèves.

En outre, les élèves qui ont à traiter un problème de modélisation conduisant à une EDP dans le cadre d'un projet, d'une ST, d'une activité associative ou d'un intérêt personnel, peuvent demander à bénéficier d'un projet compagnon. Il s'agit de la réalisation d'un travail supplémentaire. Ce travail est facultatif et soumis à candidature. Il est placé sous la responsabilité de Lionel Gabet.

Résultats de l'apprentissage couverts par le cours

Support de cours, bibliographie

Erick Herbin & Pauline Lafitte

CIP and PDE Lecture Notes

Haïm Brézis
Analyse fonctionnelle - Théorie et applications: Théorie et applications
Dunod, 2020 (dernière version) ou toute autre version antérieure

Grégoire Allaire
Analyse numérique et optimisation : Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique
Ellipses, 2005

Responsable(s) :

John Cagnol

Langues du cours :

FRANCAIS

ANGLAIS

Type de cours :

Cours hors séquence

Nombre d'heure :

50 h

Nombre d'heure sur site :

30 h

Année académique :

2024-2025

Niveau avancé :