Chaos, Fractales et complexité
Description
Les réseaux de neurones, les oscillateurs électroniques et optiques, ou encore les réactions chimiques sont autant d'exemples de systèmes où les variables d’états décrivant leur évolution spatio-temporelle interagissent de façon non-linéaire. La non-linéarité de ces systèmes est à l'origine d'une grande richesse de leurs comportements dynamiques et permet l'observation de phénomènes nouveaux qui intéressent le scientifique et l'ingénieur. On citera par exemple les dynamiques chaotiques, à l'origine de l'impossibilité de fournir des prédictions météorologiques fiables sur le long terme, ou encore à l'origine de phénomènes collectifs dits émergents telles que la synchronisation dont les applications sont multiples notamment dans les neurosciences pour comprendre et le traiter des troubles cognitifs.
Ce cours donnera donc à l’étudiant les éléments de base de ce que l’on appelle plus généralement la science de la complexité. Il sera illustré par de nombreux cas concrets tirés des travaux de recherches à visée applicative, ce qui permettra à l’étudiant de comprendre et mettre en oeuvre les techniques analytiques et numériques nécessaires à la résolution de problèmes simples.
Numéro de trimestre
Prérequis
Syllabus
Perspective historique et Introduction (1.5h)
Découverte de la théorie du chaos de H. Poincaré à E. Lorenz
B. Mandelbrot et les Fractales
Observation de phénomènes « complexes » en physique, chimie, biologie, mécanique
Introduction générales aux systèmes non-linéaires et théorie du chaos (9h)
Présentation des outils mathématiques (Map, ODE, analyse de stabilité)
Notion d’attracteurs : Points fixes, cycles limites, Tores
Bifurcations et diagramme de bifurcations
Route vers le Chaos et attracteurs étranges.
Systèmes à temps discrets. Notion d’exposants de Lyapunov. Analyse de Complexité : dimension et entropie. Introduction aux automates cellulaires.
Cas des systèmes non-linéaires à retard.
Description par équations différentielles à retard. Importance en biologie et physique. Application à des systèmes optoélectroniques.
Introduction aux Fractales (1.5h)
Introduction à la théorie des fractales. Autosimilarité et notion de dimension fractale (Hausdorff). Ensemble de Cantor, de Mandelbrot et de Julia.
Phénomènes Complexes – Introduction à la physique des réseaux (10,5h)
Définition des réseaux physiques. Exemple en biologie (métabolisme, génétique, neurosciences) et ingénierie (transport, énergie)
Phénomènes collectifs et émergents. Notion de synchronisation.
Exemples de synchronisation en biologie et physique
Modèle simplifié de Kuramoto.
Phénomène épidémique (modélisation compartementale et statistique sur les réseaux). Réseaux de contacts.
TP/TD/BE (12h):
Génération numérique de fractales (3h)
Analyse de complexité du chaos d'un système à temps discret (3h)
Etude d’un réseau d’oscillateurs couplés et conditions de synchronisation (3h)
Simulation numérique et analyse d'un système dynamique non-linéaire (3h)
Composition du cours
Notation
- Compte-rendus de travaux pratiques 100% de la note finale (ceux sont des documents individuels). Absence en TP non justifiée et/ou absence de compte rendu : la note de 0 est attribué pour ce TP.
Ressources
Equipe enseignante : Damien Rontani, Marc Sciamanna
Ressources information et Logiciels Matlab et/ou Python (pour TD et TPs)
Résultats de l'apprentissage couverts par le cours
Connaitre les enjeux scientifiques et pluridisciplinaires des sciences du non-linéaire et la théorie des réseaux
Reconnaître des situations où ce formalisme peut-être appliqué.
Connaître et savoir mettre en oeuvre des techniques d'analyse de systèmes dynamiques non-linéaires et des réseaux.
Simuler numériquement des systèmes dynamiques non-linéaires et des réseaux dynamiques.
Description des compétences acquises à la fin du cours
C1 : Analyze, design, and build complex systems with scientific, technological, human, and economic components
C2 : Develop in-depth skills in an engineering field and a family of professions
C6 : Be operational, responsive, and innovative in the digital world