Systèmes non linéaires et systèmes hybrides
Ref: 3GS2020
Description
Les systèmes de transport, les réseaux d’énergie ou d’eau, les procédés industriels et agro-alimentaires, les systèmes de production, la robotique, les réseaux de communication, les systèmes biologiques, sont des systèmes dynamiques dont la maîtrise est vitale pour le développement de nos sociétés. Dans ces classes de systèmes nous trouvons des processus à temps continu commandés et supervisés numériquement par des processus dont l'évolution s'exprime en temps discret. Pour atteindre les niveaux de performance et de sécurité requis pour ces systèmes il est impératif de tenir compte des phénomènes liés à cette évolution à la fois en temps continu et en temps discret.
Les systèmes dynamiques hybrides (SDH) constituent le cadre théorique et méthodologique qui permet la prise en compte explicite et simultanée des phénomènes continus et événementiels pour assurer efficacement leur l’analyse et la la conception des lois de commande.
Les systèmes non-linéaires permettent de modéliser de façon fedèle des phénomènes physiques. Leurs interactions avec d'autres systèmes non-linéaires ou des lois de commande permet d'obtenir un comportement riche avec des trajectoires différentes de celles apparaissant dans un système linéaire. En particulier l'analyse des propriétés comme la stabilité pour cette classe de système permet de garantir un comportement adéquat et lorsque exploité dans une loi de commande peut aussi améliorer la performance du système em boucle fermée.
L'objectif de ce cours est de sensibiliser l'ingénieur à la problématique spécifique des systèmes dynamiques hybrides et non-linéaires. Seront traités les diverses composantes allant de la description mathématique (modélisation, outils d'analyse de la stabilité, stratégies de commande) aux aspects méthodologiques (simulation, analyse numériques) avec des illustrations sur des applications.
Numéro de trimestre
SM10
Prérequis
Cours de la dominante Grand Systèmes en Interaction
Syllabus
Le cours sera divisé en trois parties. Les définitions et résultats présentés seront illustrés par des examples pratiques dans différents domaines d'application (véhicules automobiles, électronique de puissance)
Part 1 - Systèmes Non-linéaires (CM : 6h)
Partie 1.1: Introduction aux systèmes non-linéaires (CM : 1h)
Le cours commence par une illustration de problèmes spécifiques aux systèmes dynamiques non-linéaires, en particulier nous aborderons les notions d'existence et d'unicité de solution pour une équation différentielle non-linéaire, ensuite des solutions du type cycle-limite et des trajectoires chaotiques seront abordées. Finalment nous introduirons la notion de robustess aux des petites perturbations et des problèmes liés à l'interconnexion des systèmes.
Partie 1.2: Outrils pour l'analyse de stabilité des solutions (CM: 5h)
Dans cette partie nous nous intéresserons à l'étude de la stabilité des trajectoires des systèmes dynamiques. Des condition nécessaires et suffisantes pour la stabilité seront établies avec la notion de fonction de Lyapunov. Ces fonctions seront illustrés dans le cadre des systèems linéaires. Pour des systèmes linéaires pour lesquels la stabilité est une propriété locale, nous présenterons une métode pour estimer la région d'attraction d'un équilibre stable. Le principe d'invariance de LaSalle sera également présenté. Le théorème de Poincaré-Bendixon présentera une condition d'existence pour des cycles limite. Les notions seront illustrés avec plusieurs exemples.
Partie 2 - Systèmes Hybrides (CM : 6h, TD 6h)
Partie 2.1 : Modélisation et simulation (3 heures de cours - 3 heures de TD)
Représentation mathématiques de systèmes hybrides et leur simulation temporelle. Les points abordés seront
• Caractérisation des phénomènes hybrides,
• Automates hybrides,
• Systèmes à commutations,
• Systèmes affines par morceaux,
• Simulation hybride.
Partie 2.2 : Analyse et Commande (3 heures de cours - 3 heures de TD)
Analyse du comportement des systèmes et synthèse de lois de commande
• Modèle bien posés, phénomènes Zeno,
• Stabilité
• Temps de séjour,
• Commande stabilisante
Partie 3 - Commande par modes glissants (CM : 4,5h, TD 1.5h, TP 3h).
Cette partie aborde la commande par mode de glissement, « sliding mode » en anglais. Cette commande appartient à une classe de commandes appelées « commande à structure variable », où on voit apparaitre une commande par retour discontinue. Dans ce type de commande il y a commutation au niveau de l’organe de commande, produisant une discontinuité dans la dynamique du système. Le cours présente les aspects principaux de ce type de commande, comme la surface de glissement, l’attractivité de la surface de glissement, la réticence, et la synthèse des commandes et des observateurs.
Composition du cours
Cours avec tableau et transparents. TD sur PC et TP en plateforme expérimentale.
Notation
L'évaluation du cours sera composée de listes d'exercices individuelle et de compte-rendus de TD/TP.
Liste d'exercises, Compte-Rendus des séances de TD/TPRessources
• Equipe enseignante (noms des enseignants des cours magistraux) : Antoine CHAILLET, Pedro RODRIGUEZ, Giorgio VALMORBIDA
• Taille des TD (par défaut 35 élèves) : Groupe de la mention Control Engineering.
• Outils logiciels et nombre de licence nécessaire : Simulink, Stateflow et Matlab, Outils de programmation semi-définie (Yalmip, SeDuMi, Mosek)
• Salles de TP (département et capacité d’accueil) : Salles de TP à consulter dans l'EDT.
Résultats de l'apprentissage couverts par le cours
A la fin de cet enseignement, l’élève sera capable de
SYSTEMES NON-LINEAIRES
• Reconnaître des phénomènes liés aux dynamiques non-linéaires.
• Formuler des conditions de stabilité avec le théorème de Lyapunov.
• Formuler des lois de commande et des observateurs du type mode glissant.
SYSTEMES HYBRIDES
• Reconnaître le comportement hybride du système étudié
• Choisir un modèle adapté pour représenter et simuler le caractère hybride du système
• Analyser le comportement du système hybride, en particulier de vérifier des conditions pour son stabilité
• Mettre en œuvre une commande hybride stabilisante
Description des compétences acquises à la fin du cours
The main skills to be developed are
C1.2 : Use and develop suitable models and their simplifying assumptions to dress the problem.
C1.2 : Use and develop suitable models and their simplifying assumptions to dress the problem.
C2.2 : Acquire a thorough understanding of an engineering science topic.
Support de cours, bibliographie
Switching in Systems and Control. Daniel Liberzon. Birkhauser, 2003
Nonlinear systems (3rd ed), H. K. Khalil Prentice Hall, 2002.
Sliding Mode Control in Electromechanical Systèms, V. Utkim, J. Guldrer et J. Shi, Deuxième édition, CRC Press, 2009.