Equations de Hamilton-Jacobi

Ref: 3MD2020

Description

L'objectif de ce cours est de présenter une vue d'ensemble des différentes approches permettant de caractériser et d'approcher numériquement les équations décrivant la propagation de fronts, et plus généralement les équations de Hamilton-Jacobi. Ces équations interviennent dans plusieurs domaines tels que la propagation d'ondes (dans l'approximation haute fréquence), la modélisation de propagation d'interfaces ou le calcul de plus courts chemins (géodésiques) en théorie du contrôle optimal. 

Après avoir étudié trois approches de l'équation de Hamilton-Jacobi (les caractéristiques, les équations d'Euler-Lagrange et le calcul variationnel) et introduit la notion de solution de viscosité, le lien entre l'équation de Hamilton-Jacobi et le contrôle optimal sera esquissé. Enfin, différentes méthodes numériques seront présentées, analysées (stabilité, convergence) et programmées sur ordinateur.

Période(s) du cours

SM11

Prérequis

notions d’analyse et de méthodes de discrétisation, EDP

Syllabus

1) Introduction

2) Trois approches

Résolution par la méthode des caractéristiques

Equations d'Euler-Lagrange

Calcul variationnel et EDO

2) Solutions de viscosité

3) Contrôle optimal

4) Schémas aux différences finies

5) Schémas de propagation d'interfaces

Level-Sets

Fast-Marching

Composition du cours

Cours au tableau.

Ressources

Equipe pédagogique : Pauline Lafitte (CentraleSupélec)

Résultats de l'apprentissage couverts par le cours

Connaissance fine du comportement des solutions des équations HJB, de la modélisation des fronts de propagation et de leurs approximations

Support de cours, bibliographie

[1] L. C. Evans. Partial differential equations, volume 19 of Graduate Studies in Mathema- tics. American Mathematical Society, Providence, RI, 1998.
[2] R. P. Fedkiw and S. Osher. Level set methods : An overview and some recent results. J. Comput. Phys, pages 463–502, 2001.
[3] Pierre-Louis Lions. Generalized solutions of Hamilton-Jacobi equations, volume 69 of Research Notes in Mathematics. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, Mass., 1982.
[4] E. Trélat. Contrôle optimal. Mathématiques Concrètes. [Concrete Mathematics]. Vuibert, Paris, 2005. Théorie & applications. [Theory and applications].
Divers articles de recherche récents qui seront précisés au fur et à mesure.