Théorèmes limites
Ref: 3MD2210
Description
En sciences, et en physique particulièrement (mais aussi en biologie, systèmes complexes, etc.), on cherche à obtenir des équations (EDO, EDP(S), etc.) décrivant des phénomènes macroscopiques à partir de propriétés observées telles que des lois de conservation ou encore la propagation d’ondes.
Or bien souvent, ces équations macroscopiques représentent une approximation aux grandes échelles de systèmes microscopiques composés de grands nombres de particules interagissant selon des principes physiques élémentaires, par exemple des atomes/molécules en physique ; des neurones/canaux ioniques en neurosciences
; des agents en économie, etc. Déduire de ces systèmes microscopiques des lois macroscopiques représente bien souvent un problème aussi fondamental que
difficile.
L’objectif de ce cours sera de présenter certains outils mathématiques de convergence de variables aléatoires, et de les appliquer à des systèmes de particules probabilistes en interaction dont le nombre de composantes tend vers l’infini. A la limite, on identifiera selon les exemples des équations de la mécanique des fluides ou de la biologie.
Période(s) du cours
SM10
Prérequis
Chaînes de Markov et martingales à temps discret ; Calcul stochastique.
Syllabus
I Introduction et exemples clés
II Théorèmes limites
- Tension des mesures dans les espaces métriques
- Convergence en distribution et théorème de Prokhorov
- Tension dans l’espace des fonctions continues et Théorème de Donsker
III Théorie d'approximation de diffusions de Stroock-Varadhan
- Rappels sur les EDS
- Solutions faibles et problèmes de martingale
- Approximation de diffusions
IV Systèmes de particules diffusives en interaction et propagation du chaos
- Limite champ moyen de systèmes à coefficients réguliers
- EDS de McKean-Vlasov et propagation du chaos
Composition du cours
Cours magistral, ponctué d’exercices à chercher à la maison.
Ressources
Equipe pédagogique : Alexandre Richard (CentraleSupélec)
Résultats de l'apprentissage couverts par le cours
Les théorèmes limites classiques, et notamment le théorème de Donsker ;
Quelques éléments de théorie des équations aux différentielles stochastiques, solutions fortes et faibles;
Problèmes de martingales;
Approximation de diffusion à la Stroock-Varadhan;
Approximation particulaire et représentation probabiliste d’EDP, propagation du chaos.
Support de cours, bibliographie
* P. Billingsley, Convergence of Probability Measures, Wiley, 1999.
* R. Durrett, Stochastic calculus, a practical introduction, CRC, 1996.
* A.-S. Sznitman, Topics in propagation of chaos, St-Flour Lecture Notes, 1988.
* Divers articles de recherche récents dont les références seront fournies au fur et à mesure.