Contrôle stochastique en finance
Ref: 3MD5210
Description
Ce cours vise à introduire le cadre du contrôle stochastique (théorie et outils) ainsi que ses applications dans l'industrie (surtout finance). Avec la théorie générale, les élèves sont requis de comprendre que l'EDP joue un rôle important pour identifier la stratégie optimale dans le monde aléatoire et la formulation d'optimisation stochastique se sert à étudier le caractère de bien posé pour une classe des EDPs non linéaires. Du point du vu pratique, beaucoup de problèmes, e.g. l'évaluation des options américaines, se résument sous cette formulation commune et peuvent être résolus par ces outils.
Période(s) du cours
SM11
Prérequis
CIP, calcul stochastique, EDP
Syllabus
1. Contrôle stochastique optimal/arrêt optimal et programmation dynamique : Motivé par son application en l'évaluation des options américaines, nous considérons les problèmes de contrôle stochastique et d'arrêt optimal. Nous introduisons d'abord sa formulation, puis le principe de programmation dynamique correspondant et l'équation d'HJB (en temps continu).
2. Solution de viscosité : Comparée à la solution faible et à la solution classique des EDPs, la notation de solution de viscosité est développée pour une classe des EDPs paraboliques non linéaires (EDPs de HJB). Nous visons à montrer que, sous des conditions convenables, la solution de viscosité admet une représentation donnée par la fonction valeur qui vient d'un problème de contrôle stochastique. Cela souligne la généralisation de la formule Feynman-Kac.
Composition du cours
transparent du cours, exercices et références
Ressources
7 conférences de trois heures
Résultats de l'apprentissage couverts par le cours
Les élèves doivent être familiers avec des modèle Black-Scholes (processus continus), modèle de Merton et savoir résoudre les problèmes reliés, e.g. problème d'arrêt optimal (options américaines) et problème de couverture. De plus, les élèves sont requis d'avoir une compréhension complète de la méthodologie (programmation dynamique, intégration stochastique, équation différentielle stochastique, formule d'Itô, etc.) et une maîtrise des outils associés (équation d'HJB, théorème de représentation des martingales, etc.).
Support de cours, bibliographie
Slides + notes de cours
Références :
Continuous-time stochastic control and optimization with financial applications. Huyên Pham
Processus de Lévy et calcul stochastique. Rhodes Rémi
Model-free hedging : A martingale optimal transport viewpoint. Pierre Henry-Labordère