Topologie, Mesure et Intégration
Ref: SPR-MAT-001
Description
Le but du cours est de présenter un certain nombre de concepts et formalismes mathématiques fondamentaux pour la modélisation des systèmes complexes, parmi lesquels des éléments de topologie dans les espaces métriques, une synthèse de la théorie de la mesure à la base du cadre probabiliste moderne, ainsi que l’intégrale de Lebesgue et les résultats de passage à la limite qui lui sont associés.
Période(s) du cours
Semestre 5
Prérequis
Aucun
Syllabus
• Topologie des espaces métriques
• Continuité
• Complétude
• Mesure et intégration
• Continuité
• Complétude
• Mesure et intégration
Composition du cours
CM : 5 séances d’1h30
TD : 7 séances d’1h30 (groupes d’environ 25 étudiants)
TD : 7 séances d’1h30 (groupes d’environ 25 étudiants)
Ressources
• Equipe enseignante (noms des enseignants des cours magistraux) : Simon POSTEC, plus un chargé de TD
• Taille des TD : environ 25 élèves
• Taille des TD : environ 25 élèves
Résultats de l'apprentissage couverts par le cours
A la fin de ce cours, l’étudiant sera capable de :
- montrer qu’une certaine application est une distance et déterminer les ouverts associés
- montrer qu’une certaine application est une norme ; montrer que deux normes sont équivalentes
- caractériser la continuité par les suites
- montrer qu’une application linéaire entre deux espaces vectoriels normés est continue
- caractériser la complétude par les suites de Cauchy
- manipuler les mesures
- montrer qu’une fonction est mesurable, intégrable au sens de Lebesgue
- inverser une limite (ou une dérivée) avec une intégrale
- intégrer sur un espace produit (théorème de Fubini)
- appliquer un changement de variables dans le cas d’ouverts de R^n avec la mesure de Lebesgue
- connaître et appliquer l’inégalité de Hölder
- connaître les espaces L^p et discuter de l’appartenance de fonctions à ces espaces